如图,正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为a1b1,cd的中点

2022-08-12 11:00:32 分类：养花问答来源: 日夏养花网作者: 网络整理阅读：140

如图7在正方体abcd-a1b1c1d1中ef分别为d1c1b1c1的中点求证dbef四点共眠

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是B1C1和D1C1的中点,P、Q分别为EF和BD的中点,对角线A1C与平面BF交于H点,求证：P、H、Q三点共线

题中漏了一个字（平面BF）,两点是不能确定一个面的,应该是BFD或BFE
连PQ、
∵E、F分别是B1C1和D1C1的中点
∴EF∥B日夏养花网9;D'∥BD
∴EnDabt F B D四点共面,且PQ∈面BDFE
∵P、Q分别为EF和BD的中点
∴A' P C Q四点共面,且PQ∈面A'PCQ
即PQ为两个平面的交线
∴A'C与面BFD的交点H在交线PQ上
∴P、H、Q三点共线

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1B1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为多少求过程

为清楚计，你自己画一个正方体的直观图，把左下角标记B，B右边的顶点标记C，逆时针标记其他字母。过A作BF的平行线，即取CC1的中点G，连结AG。
设正方体的棱长为AB=2，（如此，分母就简单了）。
BF∥＝AG, AG²＝5， AEwww.rixia.cc8;＝5，连结EC1，EC1²＝5，连结EG, 则EG²＝6.
∠EAG就是异面直线AE,BF所成的角。
cos∠EAG＝﹙A日夏养花网E²＋AG²－EG²﹚／﹙2AEAG﹚＝﹙5＋5－6﹚／﹙2√5√5﹚
＝4／10＝2/5.
答：所求的角的余弦=2/5.

画图，连接AB中点G与B1，则GB1∥AE，角GB1F即为异面直线AE与BF所成角。
设正方体棱长为1.连接GF,BF在直角三角形BGF中，BG=1/2，BF=√5/2,则GF=√6/2
在三角形GFB1中，B1G=? B1F=? GF=? 所以余弦值=(B1G²+B1F²-GF²)/2B1G*B1F

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证,平面AED垂直平面A1FD1

解：
连接C1B,B1C,由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以C1B是AP在面BCC1B1上的射影，因为NM是C1B1,C1C的中点，所以MN//B1C,因为B1C和BC1垂直，所以MN和C1B垂直，所以AP⊥MN
。
因为MN//B1C,所以MN//A1D.同理可求出MP//CD1//BA1,因为2个面上有交叉线互相平行，所以两个面互相平行。

证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A
1
（2，0，2），D
1
（0，0，2），
设平面AED的法向量为
n1
=（x
1
，y
1
，z
1
），
则
n1
•
DA
=（x
1
，y
1
，z
1
）•（2，0，0）=0，
n1
•
DE
=（x
1
，y
1
，z
1
）•（2，2，1）=0，
∴2x
1
=0，2x
1
+2y
1
+z
1
=0．
令y
1
=1，得
n1
=（0，1，-2），
同http://www.rixia.cc理可得平面A
1
FD
1
的法向量
n2
=（0，2，1）．
∵
n1
•
n2
=0，∴
n1
⊥
n2
，
∴平面AED⊥平面A
1
FD
1

区AB中点G,因为FG//A1B1又因为三角形ABE与三角形AA1G全等
于是<FAB=<AA1G
所以AE垂直A1G而A1G也垂直于AD
所以A1G垂直于平面AED
所以平面AED垂直平面A1FD1

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