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因为DE与DC相等，所以为等腰三角形
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已知三角形ABC 的边长等于3厘米,点D 在线段BC 下面,三角形BCD 是等腰三角形,线段BD 等于线段CD ,角BDC 等于120度.以点D 为顶点作角MDN 等于60度,角MDN 交线段AB 于点M ,交线段AC 于点N ,连结MN ,问三角形AMN 的周长等于多少?请写解题过程.本题是初中的题目.作B关于直线DM的对称点P,作C关于直线DN的对称点Q.
连MP,DP;NQ,DQ.
则MP⊥BP,NQ⊥DQ,BD=DP,CD=DQ.
∵∠BDC=120,∠MDN=60.
∴D,P,Q在一直线上.
∵BD=CD,BD=DP,CD=DQ,
∴DP=DQ,故P,Q两点重合.
∴BM+CN=MN
因此△AMN
的周长=AM+AN+MN=AM+BM+AN+CN=AB+AC=6.
这道几何题有几种证法.下面给出一种不常见三角证法.
设BM=x,CN=y.则AM=3-x,AN=3-y.
在Rt△DBM中,DM=√(x^2+3);
在Rt△DCN中,CN=√(y^2+3);
在△DMN和△AMN中,由
余弦定理
:
(3-x)^2+日夏养花网(3-y)^2-(3-x)(3-y)=x^3+3+y^2+3-√(x^2+3)*(y^2+3)
<==>
√(x^2+3)*(y^2+3)=3日夏养花网(x+y)+xy-3
上式两边平方整理得
(x+y)*(x+y+xy-3)=0
故得
x+y+xy=3
所以
MN^2=x^2+y^2+9-3(x+y)-xy=(x+y)^2
即MN=x+y.
因此△AMN
的周长=AM+AN+MN=3-x+3-y+x+y=6.
连MP,DP;NQ,DQ.
则MP⊥BP,NQ⊥DQ,BD=DP,CD=DQ.
∵∠BDC=120,∠MDN=60.
∴D,P,Q在一直线上.
∵BD=CD,BD=DP,CD=DQ,
∴DP=DQ,故P,Q两点重合.
∴BM+CN=MN
因此△AMN
的周长=AM+AN+MN=AM+BM+AN+CN=AB+AC=6.
这道几何题有几种证法.下面给出一种不常见三角证法.
设BM=x,CN=y.则AM=3-x,AN=3-y.
在Rt△DBM中,DM=√(x^2+3);
在Rt△DCN中,CN=√(y^2+3);
在△DMN和△AMN中,由
余弦定理
:
(3-x)^2+日夏养花网(3-y)^2-(3-x)(3-y)=x^3+3+y^2+3-√(x^2+3)*(y^2+3)
<==>
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上式两边平方整理得
(x+y)*(x+y+xy-3)=0
故得
x+y+xy=3
所以
MN^2=x^2+y^2+9-3(x+y)-xy=(x+y)^2
即MN=x+y.
因此△AMN
的周长=AM+AN+MN=3-x+3-y+x+y=6.
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