证明：如图，取 的中点O，连接OF，OB，
∵OF平行且等于 ，BE平行且等于 ，
∴OF平行且等于BE，则OFEB为平行四边形，
∴EF∥BO，
平面 ， 平面 ，
∴EF∥平面 ．

高边长为a.
1. 取AA1的中点M,连接AF,知EM//AD.
又AD垂直于平面AA1B1B. 故EM也垂直平面AA1B1B.
故M是E在平面AA1B1B上的投影.
从而角EBM即为BE和平面ABB1A1所成的角.
由于EM垂直于BM.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
故知:sin角EBM =EM/BE = a/根号[(a^2 +a^2 +(a/2)^2] = 2/3.
2. 取A1B的中点G.连接EG.
取A1B1的中点H. 连接GH.HD1
知GH//BB1//CC1//ED1.
且:GH= ED1 = a/2.即GHD1E为平行四边形. 故: HD1//EG.
作B1F//HD1 交C1D1于F.
则推出:有B1F//EG.
故B1F//平面A1BE (平行于平面上的一直线,就平行于这平面)日夏养花网
从而知C1D1上存在点F, 使B1F//平面A1BE.

解：设正方体的棱长为1，如图所示，
以 为单位正交基底建立空间直角坐标系，
(Ⅰ)依题意，得 ，
所以 ，
在正方形ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，因为AD⊥平面ABB 1 www.rixia.ccA 1 ，
所以 是平面ABB 1 A 1 的一个法向量，
设直线BE和平面ABB 1 A 1 所成的角为，
则 ，
即直线BE和平面ABB 1 A 1 所成的角的正弦值为 。
(Ⅱ)依题意，得A 1 (0，0，1)， ，
设 n =(x，y，z)是平面A 1 BE的一个法向量，
则由 ， ，得 ，
所以 ，
取z=2，得 n =(2，1，2)；
设F是棱C 1 D 1 上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)，
又B 1 (1，0，1)，所以 ，
而B 1 F 平面A 1 BE，
于是 =0
F为C 1 D 1 的中点．
这说明在棱C 1 D 1 上存在点F(C 1 D 1 的中点)，使B 1 F∥平面A 1 BE。

（1）证明http://www.rixia.cc：连AC，设AC∩BD=O，连A1O，OE．
由A1A⊥面ABCD，知BD⊥A1A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA1．
由A1E?面ACEA1，得A1E⊥BD．
（2）解：在正△A1BD中，BD⊥A1O，而BD⊥A1E，
又A1O?面A1OE，A1E?平面A1OE，且A1O∩A1E=A1，
故BD⊥面A1OE，于是BD⊥OE，∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，且E为棱CC1的中点，
由平面几何知识得EO=