在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F （1）指出F在A1D1上的位置，说明理由

2021-01-10 22:21:52 分类：养花问答来源: 日夏养花网作者: 网络整理阅读：254

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED垂直平面B1BD

取B1D的中du点O，连结zhiAC交BD于点G，连结EO、OG。
在正方体中，dao因为E为CC1的中点，专所以B1E=DE，即属EO垂直B1D。
在三角形BB1D中，OG//BB1且OG=BB1/2(中位线)。
而CE//BB1且CE=BB1/2，所以OG//CE且OG=CE，即CEO日夏养花网G是平行四边形，即EO//CG。
在正方形ABCD中，AC垂直BD，所以E日夏养花网O垂直BD。
因为B1D交BD=D，所以EO垂直平面BB1D。
因为EO在平面B1ED内，所以平面B1ED垂直平面B1BD。

先看题解给出的图片，首先要添加必要的辅助线具体，证明过程如下：

证明：内

连结AC交BD于点F，取B1D的中点F1，连结EF1、FF1。

又∵E为CC1的中点，容∴B1E=DE，∴EF1⊥B1D（等腰三角形底边上的高）。

在△BB1D中，FF1//BB1，由中位线性质，∴FF1= BB1，

而CE//BB1且CE= BB1，∴FF1//CE且FF1=CE，

∴四边形CEFF1是平行四边形，∴EF1//CF。

又∵CF⊥BD(正方形两对角线垂直AC⊥BD，而CF是AC的一部分)，

∴EF1⊥BD。

由于B1D交BD于D点，所以EF1⊥平面BB1D。

∵EF1http://www.rixia.cc在平面B1ED内，∴平面B1ED⊥平面B1BD。

（2006?宣武区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F．（Ⅰ）

（2006?宣武区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，平面B₁ED交A₁D₁于F．
（Ⅰ）指出F在A₁D₁上的位置，并证明；
（Ⅱ）求直线A₁C与B₁F所成角的余弦值；
（Ⅲ）设P为面BCC₁B₁上的动点，且AP=
2
，试指出动点P的轨迹，并求出其轨迹所表示的曲线的长度．

（I）F为A1D1的中点，bai

∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，du面zhiABCD∥面A1B1C1D1
而面B1EDF∩面ABCD=DE，面B1EDF∩面A1B1C1D1=B1F
∴B1F∥DE，
同理dao可得B1E∥DF，从而版得到四边形DEB1F为平行权四边形
∴B1F=DE，
又∵A1B1=CD，可得Rt△A1B1F≌Rt△CDE
∴A1F＝CE＝12BC＝12A1D1，得F为A1D1的中点…（5分）
（II）过点C作CH∥DE，交AD的延长线于H，连结A1H，
则A1C与B1F所SBhrwPSxI成的角就等于A1C与CH所成的锐角．
∵Rt△A1CH中，A1C＝

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、H分别是棱BB1、CC1、DD1的中点．（Ⅰ）求证：BH∥平

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分别是棱BB₁、CC₁、DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BH∥平面A₁EFD₁；
（Ⅱ）求直线AF与平面A₁EFD₁所成的角的正弦值．

（Ⅰ）证明：连接D1E，BE日夏养花网＝12BB1，HD1＝12DD1，BB1∥DD1，BB1=DD1
∴62616964757a686964616fe58685e5aeb931333337373638BE∥HD1，BE=HD1，即BED1H为平行四边形
∴BH∥ED1
∵BH?平面A1EFD1，ED1?A1EFD1
∴BH∥A1EFD1（7分）
（Ⅱ）过A作AG⊥A1E，垂足为G．
∵A1D1⊥平面A1ABB1，AG?A1ABB1∴A1D1⊥AG，
EA1∩A1D1=A1∴AG⊥平面A1EFD1．
连接FG，则∠AFG为所求的角．（9分）
在△AA1G中，AG?EA1=AA1?AB
∴AG＝2

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