证明：如图所示，连接B1D1，NE
∵M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点
∴MN∥qoMIlKlgNB1D1，EF∥B1D1
∴MN∥EF
又∵MN?面BDEF，EF?面BDEF
∴MN∥面BDEF
∵在正方形A1B1C1D1中，M，E，分别是棱 A1B1，B1C1的中点
∴NE∥A1B1且NE=A1B1
又∵A1B1∥AB且A1B1=AB
∴NE∥AB且NE=AB
∴四边形ABEN是平行四边形
∴AN∥BE
又∵AN?面BDEF，BE?面BDEF
∴AN∥面BDEF
∵AN?面AMN，MN?面AMN，且AN∩MN=N
∴平面AMN∥平面EFDB

（1）
解：取A1D1中点M，连结ME，连结B1M，设正方体棱长为2
（可证得ME平行于B1C，也就是说ME与BE的夹角等于B1C与BE的夹角）
在三角形BEM中，BE=3，BM=3，EM=√2

由余弦定理可qoMIlKlgN得，cos∠BME=√2/6

所以直线BE和B1C所成的角的余弦值等于√2/6
（2）存在。
证明：连结AB1交A1B于点K，连结EF，B1F，KF，C1D
因为E,F分别为D1C1,D1D的中点
所以EF是C1D的中位线
所以EF平行且等于C1D的1/2
B1K可证得平行且等于C1D的1/2
所以B1K平行且等于EF
所以四边形B1FEK是平行四边形
所以面外直线B1F平行于面内直线EK
所以存在

说的大概，不明白的追问

用几何法不是很简单吗？是题目要求用向量法？

提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．

您好！

取BB1的中点G，连接FG，A1G
因为 在正方体ABCD-A1B1C1D1中CC1=BB1，CC1//BB1
因为 F是CC1的中点，G是BB1的中点
所以 GB1=FC1，GB1//FC1
所以 GB1C1F是平行四边形
所以 FG//B1C1，FG=B1C1
同理 A1G//BE，A1G=BE
因为 在正方体ABCD-A1B1C1D1中A1D1//B1C1，A1D1=B1C1
因为 FG//B1C1，FG=B1C1
所以 FG//A1D1，FG=A1D1
所以 A1GFD1是平行四边形
所以 A1G//FD1，A1G=FD1
因为 A1G//BE，A1G=BE
所以 FD1//BE，FD1=BE
所以 D1EFB是平行四边形
所以 D1,E,F,B共面