ab=|a||b|cos45=3
则向量a+b与a+b的夹角是锐角时有：
(a+b)(a+b)>0
则
a²+(1+²)ab+b²>0
3²+11+3>0
>(-11+√85)/6，或<(-11-√85)/6.

下面还需要去掉共线的情况：
向量a+b与a+b共线时，对应的系数比相等，
所以1/=1/，=1.
=1时，同向共线，夹角为0，不是锐角，应舍去。
=-1时，反向共线，夹角为180.

综上可知：>(-11+√85)/6，或<(-11-√85)/6，且≠1。

a.a=|a|^2, b.b=|b|^2, a.b=|a||b|cos45，
设r=a+b，s=a+b，
则|r|=√(|a|^2+|b|^2+2|a||b|cos45)
=√(|a|^2+^2|b|^2+2|a||b|cos45)
=√((√2)^2+^2*3^2+2√2*3*√2/2)
=√(9^2+日夏养花网6+2)
|s|=√(|a|^2+|b|^2+2|a||b|cos45)
=√(^2|a|^2+|b|^2+2|a||b|cos45)
=√((√2)^2*^2+3^2+2*√2*3*√2/2)
=√(2^2+6+9)
则r.s=(a+b).(a+b)
=(^2+1)a.b+(a.a+b.b)
=(^2+1)|a||b|cos45+(|a|^2+|b|^2)
=(^2+1)√2*3*√2/2+(2+9)
=3^2+11+3
=|r||s|cos(r,s)
∵r与s夹角为锐角，∴0<cos(r,s)<1
∴cos(r,s)=(r.s)/(|r||s|)
=(3^2+11+3)/[√(9^2+6+2)*√(2^2+6+9)]∈(0,1)
即3^2+11+3>0且(3^2+11+3)/[√(9^2+6+2)*√(2^2+6+9)]<1
整理简化得3^2+11+3>0且(^2-1)^2>0
解此不等式组得 >(-11+√85)/6 或 <(-11-√85)/6 且 ≠1
∴实数的取值范围为：(-∞,(-11-√85)/6)∪((-11+√85)/6,1)∪(1,+∞)

已知│a│=√2，│b│=3，a与b的夹角为45，当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，求实数的范围。
解：设b=(3，0)；a=((√2)cos45，(√2)sin45)=(1，1)；于是：
a+b=(1+3，1)；︱a+b︱=√[(1+3)²+1]=√(9²+6+2)
a+b=(+3，)； ︱a+b︱=√[(+3)²+²]=√(2²+6+9)
设a+b与a+b的夹角为，则有：
0<cos=(a+b)•(a+b)/[︱a+b︱︱a+b︱]=[(1+3)(+3)+]/{[√(9²+6+2)][√(2²+6+9)]}<1
由于(9²+6+2)和(2²+6+9)的判别式=36-72=-36<0，故对任何恒有9²+6+2>0，和
2²+6+9>0.....(1)，所以可去分母得：
于是得0<(3²+11+3)<√[(9²+6+2)(2²+6+9)]
由于分子的判别式=121-36=85>0，故应取<(-11-√85)/6，或>(-11+√85)/6，且满足不等式：
0<(3²+11+3)²<(9²+6+2)(2²+6+9)
展开化简得9⁴-18http://www.rixia.cc²+9>0，即有⁴-2²+1=(²-1)²>0，故≠1........(2)。
(1)∩(2)={︱<(-11-√85)/6，或>(-11+√85)/6且≠1}。

cos<a,b>=a*b/|a||b| = cos/3= 1/2
而且|a||b|=2*1=2
所以 a*bhttp://www.rixia.cc=1

向量a+b与a-2b的夹角的余弦值等于

(a+b)(a-2b)/|a+b||a-2b|=0

a*b＝|a||b|cos(/3)＝1
|a+b|^2＝(a+b)*(a+b)＝|a|^2＋2(a*b)＋|b|^2＝7，所以|a+b|＝√7
|a-2b|^2＝(a-2b)*(a-2b)＝|a|^2-4(a*b)＋4|b|^2＝4，所以|a-2b|＝2
(a+b)*(a-2b)＝|a|^2-(a*b)-2|b|^2＝1
向量a+b与a-2b的夹角的余弦等于(a+b)*(a-2b)/[|a+b||a-2b|]＝1/(2√7)，所以夹角是arccos(1/(2√7))

(a,b)=|a|*|b|*cos(/3)=1
|a+b|=√(a+b)(a+b)=√(a^2+b^2+2ab)=√(4+1+1)=√7
|a-2b|=√(a-2b)(a-2b)=√(a^2+4b^2-4ab)=√(4+4-4)=2
(a+b)(a-2b)=a^2-2b^2-ab=4-2-1=1
cosA=(a+b)(a-2b)/[|a+b||a-2b|]=1/2√7=√7/14
所以夹角A=arccos(√7/14)

ab=2*1*cos/3=1
|a+b|^2=（a+b)^2=a^2+2ab+b^2=4+2+1=7
|a-2b|^2=a^2-4ab+4b^2=4-4+4=4
(a+b)(a-2b)=a^2-ab-2b^2=4-1-2=1
cos<a+b,a-2b>
=(a+b)(a-2b)/|a+b|*|a-2b|
=1/2根号7
=根号7/14

a与b的数量积=a的莫b的莫cos【a,b】=1
（a+b)（a-2b)=a方-ab-2b方=4-1-2=1

1.由a与b夹角为/3，画个简图，可知|b|=|a|cos/3
|a+2b|可看成是a在b上的投影，然后再求模，
|a+2b|=|3b|=3
2.
向量a+2b与ta+b垂直,则（a+2b）*（ta+b）=0
ta^2+2tab+ab+2b^2=0 ,ab=|a||b|cos/3=1
t=-1/2

ab=|a||b|cos<a,b>=2x1x1/2=1.
|a+2b|=根号下(a+2b)²=根号下(a²+4ab+b²)=根号下(4+4+1)=3

向量a+2b与ta+b垂直,则有：
(a+2b)(ta+b)=ta²+(2t+1)ab+2b²
=4t+2t+1+2
=0,得：t=-½.

1平方后再求！
2、垂直向量的乘机为0，日夏养花网利用已知条件很好求出t的。