如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF．（1）求证：

2021-01-09 17:19:59 分类：养花问答来源: 日夏养花网作者: 网络整理阅读：131

（2014?安徽模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F

（2014?安徽模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2BF．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求几何体ABFED的体积．

（1）证明：连结B1D1，BD，∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1．回

在正答方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1日夏养花网C1?平面A1B1C1D1，∴A1C1⊥DD1．
∵B1D1∩DD1=D1，B1D1，DD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D．
∵EF?平面BB1D1D，∴EF⊥A1C1．
（2）解：以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，

则A（a，0，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a），E（0，0，12a），F（a，a，13a），
∴

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF．

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给你讲抄一下解题思路吧，具体怎么写得靠自己。
（1）、要求证EF⊥A1C1，可以想到线垂直面，所以改线垂直面上的每一条直线，因此，连接B1D1，根据正方体的性质，可以轻松得证A1C1垂直面BB1D1D，然后EF属于面BB1D1D，所以得证EF⊥A1C1
（2）、A,E,G,F四点共面，根据正方体性质，对面平行，可以得到面AEGF是平行四日夏养花网边形，因此，作FG平行AE交CC1于G，可以轻松得到FD平行且相等AE，可以将FG看作是AE在面BCC1B1上投影向上移动了a/3的距离（根据B1F=2FB），又因为E是DD1中点，所以有CG=a/2 + a/3 = 5a/6
因此 C1G=a/6
（3）、几何体ABFED的体积可以拆分开计算然后相加得到，连接DF，几何体ABFED的体积就相当于三菱锥ADE-F 和三菱锥ADB-F 体积之和根据V=sh/3(三分之一底面积高)，然后两个相加就是几何体ABFED的体积。

若满意，请采纳。
有不懂的地方可追问

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱DD1上的动点，F，G分别是BD，BB1的中点．（1）求证：EF

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱DD₁上的动点，F，G分别是BD，BB₁的中点．
（1）求证：EF⊥CF．
（2）当点E是棱DD₁上的中点时，求异面直线EF与CG所成角的余弦值．
（3）当二面角E-CF-D达到最大时，求其余弦值．

（e68a84e8a2ad32313133353236313431303231363533313333353434341）证明：∵F为BD的中点，∴CF⊥BD…（1分）
又∵DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥CF…（2分）
∵DD1∩BD=D，
∴CF⊥面BB1D1D…（3分）
∵EF?面BB1D1D，∴CF⊥EF…（4分）；
（2）解：连接A1E，AF．
当点E是棱DD1上的中点时，因为G为BB1的中点，由正方体的性质知A1E∥CG，
故∠A1EF或其补角为异面直线EF与CG所成角．…（5分）
在R日夏养花网t△DEF中，EF＝

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上,且满足B1F

=2FBnwww.rixia.cc求证:EF⊥A1C1n求几何体ABFED的体积

(1)

证明

∵正自方体

∴A1C⊥B1D1

∵DD1⊥面A1B1C1D1

∴DD1⊥A1C1

∴A1C1⊥面BB1D1D

∵EF在面BB1D1D内

∴A1C1⊥EF

(2)

正方体棱长=a

点E是棱D1D的中点，B1F=2FB

∴DE//BF

∴底面BFED是梯形

梯形BFED面积=1/2(DE+BF)*BD=1/2*5a/6*√2a=5√2a²/12

AC⊥面BB1D1D

∴A到面BB1D1D距离=√2a/2

∴四棱锥A-BFED体积

=1/3*√2a/2*5√2a²/12

=5awww.rixia.cc9;/36

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1：连du接AC时，AC⊥BD
∵EF分别为中点zhi

∴daoEF‖（平行）交流

∴EF⊥BD（条内件1）

∵BB1⊥平面ABCD ∴BB1⊥EF（条件2）

∴EF⊥平面BB1DD1（直线容垂直于该平面不平行于任何两行中，该直线垂直于平面）

2 ：给你的想法：

两个平面垂直的证明 - >如果能证明一个平面内的一条直线垂直就行
根据对方：一条直线垂直于一个平面，该平面有所有表面都是直线垂直于该平面。