如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB和BC的中点,G在B1C1上,且B1G

2021-10-03 03:19:09 分类：养花问答来源: 日夏养花网作者: 网络整理阅读：177

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD；②B1D

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是棱A₁B₁、BB₁、B₁C₁的中点，则下列结论中：
①FG⊥BD；
②B₁D⊥面EFG；
③面EFG∥面ACC₁A₁；
④EF∥面CDD₁C₁．
正确结论的序号是（　　）

A．①和②
B．③和④
C．①和③
D．②和④

解答：

解：如图连接A1C1、A1B、BC1、BD、B1D，因为E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点
对于①因为FG∥BC1，△BDC1是正三角形，FG⊥BD，不正确．
对于②因为平面A1C1B∥平面EFG，并且B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥面EFG，正确．
③面EFG∥面ACC1A1；显然不正确．
④EF∥平面CDD1C1内的D1C，所以EF∥面CDD1C1．正确．
故选D

如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点,求证CF垂直平面EAB

∵直线AB⊥平面BB1C1C
直线CF又在平面BB1C1C内
所以直线AB⊥直线CF
再证明△BB1E与△CBF全等∴∠BFC=∠B1EB
又∵∠B1EB+∠B1BE=90
∴∠BFC+∠B1BE=90
即CF⊥BE
又∵BE、AB∈平面EAB且相交
∴CF⊥平面EAB

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G分别是B1B,AB,BC的中点,证明

D1F⊥EG,DF垂直平面AEG解答题答案

用射影定理，很简单

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB和AA1的中点。求证：（1）E,C,D1，F四点共面

（2）CE,D1F,DA三线共点

（1）连结CD'、EF、A'B，
∵A'D'∥B'C&日夏养花网#39;∥BC，A'D'=B'C=BC，
∴四边形A日夏养花网9;D'CB是平行四边形，
∴A'B∥D'C，
∵E、F分别是中点，
∴EF∥A'B，
∴EF∥CD'
∴E、F、C、D'共面

（2）延长D;F、DA交于P，连结EP
∵AE=AF，PA=PA，∠PAE=∠PAF=90，
∴△PAE≌△PAF,
∴∠PFA=∠PEA，
∵∠PFA=∠PD'D，∠PD'D=∠DCE（∠A'D'F=∠BCE），
∴∠PEA=∠DCE，
又∵∠DCE+∠AEC=180，
∴∠PEA+∠AEC=180，
即点P、E、C共线，
∴CE,D1F,DA三线共点于P

连接 EF 、A1B、CD1
因为 E、F分别为AA1和AB的中点
所以 EF平行于A1B
又因为 A1D1平行且相等于BC
所以四边形 A1D1CB是平行四边形
所以 A1B平行于CD1
所以 EF平行于CD1
所以 E F C D1 四点共线

(1)证明：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面DCC1D1
且平面ABB1日夏养花网A1∩平面ECD1F=EF，
平面DCC1D1∩平面ECD1F=CD1
∴EF∥CD1，
∴E、C、D1、F 四点共面

（1）设棱长为2，则CE=根号5,
CD1=2根号2，
D1E=3，
这三边长满足三角形定义（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）
即CD1E是三角形，
∴C,D1，E三点共面
（2）延长B1A1，设A1外面的点位G
且GA1=BE，连接GE,D1G,构成平行四边形CEGD1，
∴CE∥D1G
又∵AD∥A1D1CobJt，且A1D1与FD1,GD1交与D1
∴CE,D1F,CobJtDA三线共点

证明：（1）连接EF，A1B，D1C，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，A1B∥D1C，
∴EF∥D1C，
∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面．
（2）分别延长D1F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA⊂面ABCD，
∴P∈面ABCD．
∵F是AA1的中点，FA∥D1D，
∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，
∴CP∩AB=E，
∴CE，D1F，DA三线共点于P．

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1上一点，且D1G：GD=1：2，AC∩BD=O，

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD₁上一点，且D₁G：GD=1：2，AC∩BD=O，求证：平面AGO∥平面D₁EF．

证明：如图所示，设EF∩BD=H，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1上一点，且D1G：GD=1：2，AC∩BD=O，在△DD1H中，DODH＝23＝DGDD1，
∴GO∥D1H，又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，
∴GO∥平面D1EF，
在△BAO中，BE=EF，BH=HO，∴EH∥AO
AO?平面D1EF，EH?平面D1EF，∴AO∥平面D1EF，
AO∩GO=O，∴平面AGO∥平面D1EF．

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