如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,平面BED1交棱AA1于点F.给出下列四个结论
如图所示www.rixia.cc,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,平面BED1交棱AA1于点F.给出下列四个结论:①存在点E,使得A1C1∥平面BED1F;
②存在点E,使得B1D⊥平面BED1F;
③对于任意的点E,平面A1C1D⊥平面BED1F;
④对于任意的点E,四棱锥B1-BED1F的体积均不变.
其中,所有正确结论的序号是______.
解:①当E为棱CC1上的日夏养花网一中点时,此时F也为棱AAC1上的一个中点,此时A1C1∥EF;满足A1C1∥平面BED1F成立,∴①正确.
②日夏养花网∵B1D?平面BED1F,∴不可能存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,∴②错误.
③连结www.rixia.ccD1B,则D1B⊥平面A1C1D,而B1D?平面BED1F,∴平面A1C1D⊥平面BED1F,成立,∴③正确.
④四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1?BB1F+VD1?B1BF,
设正方体的棱长为1,
∵无论E,F在何点,三角形BB1E的面积为1211=12为定值,三棱锥D1-BB1E的高D1C1=1,保持不变.
三角形BB1F的面积为1211=12为定值,三棱锥D1-BB1F的高为D1A1=1,保持不变.
∴三棱锥D1-BB1E和三棱锥D1-BB1F体积为定值,
即四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1?BB1F+VD1?B1BF为定值,∴④正确.
故答案为:①③④
②日夏养花网∵B1D?平面BED1F,∴不可能存在点E,使得B1D⊥平面BED1F,∴②错误.
③连结www.rixia.ccD1B,则D1B⊥平面A1C1D,而B1D?平面BED1F,∴平面A1C1D⊥平面BED1F,成立,∴③正确.
④四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1?BB1F+VD1?B1BF,
设正方体的棱长为1,
∵无论E,F在何点,三角形BB1E的面积为1211=12为定值,三棱锥D1-BB1E的高D1C1=1,保持不变.
三角形BB1F的面积为1211=12为定值,三棱锥D1-BB1F的高为D1A1=1,保持不变.
∴三棱锥D1-BB1E和三棱锥D1-BB1F体积为定值,
即四棱锥B1-BED1F的体积等于VD1?BB1F+VD1?B1BF为定值,∴④正确.
故答案为:①③④
(2014?河东区一模)如图,日夏养花网已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是A1B1、CC1的中点,过D1、E、F作
(2014?河东区一模)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是A1B1、CC1的中点,过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.(Ⅰ)求证:EG∥D1F;
(Ⅱ)求二面角C1-D1E-F的余弦值;
(Ⅲ)求正方体被平面D1EGF所截得的几何体ABGEA1-DCFD1的体积.
证明:(Ⅰ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1
平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG,平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F,
∴EG∥D1F.(3分)
解:(Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则有
D1(0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),
∴
平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG,平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F,
∴EG∥D1F.(3分)
解:(Ⅱ)如图,以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则有
D1(0,0,2),E(2,1,2),F(0,2,1),
∴
如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱CC1,C1D1,AB的中点.(Ⅰ)求异面直线AC与FG
如图,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱CC1,C1D1,AB的中点.(Ⅰ)求异面直线AC与FG所成角的大小;
(Ⅱ)求证:AC∥平面EFG.
解答:(Ⅰ)解:连接AD1,CD1,则
∵F,G分别为棱C1D1,AB的中点,
∴四边形FGAD1是平行四边形,
∴FG∥AD1,
∴∠D1AC为异面直线AC与FG所成角,
∵△AD1C是等边三角形,
∴∠D1AC=3,
∴异面直线AC与FG所成角为3;
(Ⅱ)证明:∵E,F分别为棱CC1,C1D1的中点,
∴EF∥CD1.
∴EF∥平面AD1C,
同理FG∥平面AD1C,
∵EF∩FG=F,
∴平面EFG∥平面AD1C
∵AC?平面AD1C,
∴AC∥平面EFG.
∵F,G分别为棱C1D1,AB的中点,
∴四边形FGAD1是平行四边形,
∴FG∥AD1,
∴∠D1AC为异面直线AC与FG所成角,
∵△AD1C是等边三角形,
∴∠D1AC=3,
∴异面直线AC与FG所成角为3;
(Ⅱ)证明:∵E,F分别为棱CC1,C1D1的中点,
∴EF∥CD1.
∴EF∥平面AD1C,
同理FG∥平面AD1C,
∵EF∩FG=F,
∴平面EFG∥平面AD1C
∵AC?平面AD1C,
∴AC∥平面EFG.
(2013?文昌模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点(1)若AF∥平
(2013?文昌模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点(1)若AF∥平面BDE,求CE的长;
(2)若平面BDE⊥平面A1BD,求三棱锥F-ABE的体积.
(1)连接AC交BD于O,连接CF交DE于P,连接PO,
∵AF∥平面BDE,∴AF∥PO,
又∵O为AC中点,∴P为CF中点,(2分)
在正方形CD1C1C中,延长DE交D1C1的延长线于点Q,
由平面几何知识得C1EC1B=13,
所以CE=23.(5分)
(2)∵平面BDE⊥平面A1BD且EO⊥BD,
∴EO⊥平面A1BD,(7分)
又∵AC1⊥平面A1BD,∴EO∥AC1,
因此E为CC1的中点,(9分)
∵B1C⊥平面ABF,∴E到平面ABF 的距离为
∵AF∥平面BDE,∴AF∥PO,
又∵O为AC中点,∴P为CF中点,(2分)
在正方形CD1C1C中,延长DE交D1C1的延长线于点Q,
由平面几何知识得C1EC1B=13,
所以CE=23.(5分)
(2)∵平面BDE⊥平面A1BD且EO⊥BD,
∴EO⊥平面A1BD,(7分)
又∵AC1⊥平面A1BD,∴EO∥AC1,
因此E为CC1的中点,(9分)
∵B1C⊥平面ABF,∴E到平面ABF 的距离为
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