如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心 1.判断A1E和B1F的位置关系 2。

2021-08-25 18:38:50 分类：养花问答来源: 日夏养花网作者: 网络整理阅读：185

如图,正方体abcd-a1b1c1d1中www.rixia.cc,e,f分别为a1atzbkb1,cd的中点

正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1,CD的中点,求证：平面ABC1D1⊥平面AEC1F（要有详细的过程）

像这种求二面角的题,根据我多次考试的经验,几何法虽然过程简单,但是非常难想到,而向量法是非常简便的,求二面角的向量法你们应该学过了吧,考试如果有三分钟还想不出几何法的时候,就立刻使用向量法,就是其两个面的法向量之积为0,为什么要用向量法呢,因为这种题的第二小题一般都是求二面角,向量法会异常简单

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点

（Ⅰ）∵AC1是正方体,
∴AD⊥面DC1．
又D1F⊂面DC1,
∴AD⊥D1F．
（Ⅱ）取AB中点G,连接A1G,FG．因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F．
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=90,即直线AE与D1F所成角为直角．

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明：AD⊥D1F；

解法一：（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．
又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．
解法二：利用用向量求解
解：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
（1＝(2，0，0)，＝(0，1，−2)，得D1F＝0，∴AD⊥D1F；

证明∶∵正方体ABCD-A1B1C1D1
∴ AD⊥平面CDD1C1
∵F是CD的中点
∴D1F 在平面CDD1C1内
∴AD⊥D1F

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：AB1⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．

1、取AD中点M，连结FM、BM，交AE于N，

在底面ABCD中，RT△ABM和RT△ADE，

∵AD=AB，

〈BAM=〈ADE=90，

AM=DE=AB/2，

∴RT△ABM≌RT△DAE，

∴〈DAE=〈ABM，

∵〈MAN+〈BAN=90，

〈ABN+〈BAN=90，

∴〈ANB=90，

∴AE⊥BM，

∵FM//AA1，

AA1⊥平面ABCD，

∴FM⊥平面ABCD，

∵AE∈平面ABCD，

∴FM⊥AE，

∵FM∩BM=M，

∴AE⊥平面FBM，

∵BF∈平面BMF，

∴AE⊥BF。

2、连结A1B，

∵四边形ABB1A1是正方形，

∴A1B⊥AB1，

∵A1F⊥平面ABB1A1，

AB1∈平面ABB1A1，

∴A1F⊥AB1，

∵A1F∩A1B=A1，

∴AB1⊥平面A1BF，

∵BF∈平面A1BF，

∴AB1⊥BF，

3、取CC1中点P，连结C1D，

∵EP是△CDC1的中位线，

∴EP//C1D，

∵B1C1//=AD，

∴四边形B1C1DA是平行四边形，

∴C1D//AB1，

∴PE//AB1，

由1、2所述AE⊥BF，AB1⊥BF，

∴PE⊥BF，

∵AE∩PE=E，

∴BF⊥平面AEP。

1 作FH⊥AD 连接BD BD⊥AE FH ⊥AE 面FEH⊥AE AE⊥BF
2 连接D1C C1D 很显然C1D ⊥平面BCD1F 所以C1D⊥BF 又AB1∥C1D
所以 AB1⊥BF
3 有1和2 可知AE⊥BF AB1⊥BF BF⊥面B1AE 作CP ∥AB1 P在CC1 中点
梯形 EPB1A 和平面AEP共面，故P存在