（Ⅰ）当点F是CD的中点时，D 1 E⊥平面AB 1 F.（Ⅱ）

解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），设E（1，m，0）（0≤m≤1）
（Ⅰ）证明：

解：（1）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影
∵AB1⊥A1B，日夏养花网
∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影
∴D1E⊥AFDE⊥AF
∵ABCD是正方形，E是BC的中点
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F。
（2）当D1E⊥平面AB1F时，由（1）知点F是CD的中点
又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD
连结AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，
则CH是C1H在底面ABCD内的射影
C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角
在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=1/4AC=根号2/4,CF=3根号2/4
cos∠C1HC=CH/C1F=1/3

(1) 在平面 ABCD 中，ABCD 是正方形，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF 与 BD 的交点为 G ，点 N 在 BD 上，且 DN / Nhttp://www.rixia.ccB = 1 / 3
连接 AC，AC 与 BD 相交于 O
∵ ABCD 是正方形，AC，BD是对角线
∴ O 为 AC，BD 中点
由相似三角形及 DN / NB 的比例可知，G 点为 BO 的中点，N 点为 DO 的中点
且 ∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1
∴ B1G // NH
∵ B1G 在面B1EF中
∴ NH//面B1EF

(2) 能
连接 B1G，BG，在直角三角形 BB1G 中，BB1⊥BG，BG = √2 / 4 ，BB1 = 1
做直线过B点与B1G垂直并交DD1于M，易证 △BB1G TwFpYYhCL∽△BDM
即
BG / BB1 = DM / BD
BD是正方形的对角线，即 BD = √2
∴ DM = BG * BD / BB1 = √2 * √2 / 4 / 1 = 1/2
即点M为DD1的中点